• دانلود رایگان نمونه سوالات دینامیک و ارتعاشات (مهندسی مکانیک) فلزات اساسی و فولاد 1404

**سؤال 1**
یک جسم با جرمی برابر m بر روی سطح افقی بدون اصطکاک قرار دارد. اگر نیروی افقی ‎F‎ به‌صورت ثابت به‌مدت ‎t‎ ثانیه بر جسم وارد شود، سرعت نهایی آن برابر است با:

**الف)** ‎F t / m
**ب)** ‎F / (m t)
**ج)** ‎m t / F
**د)** ‎F t² / (2m)

**پاسخ:** الف) ‎F t / m

**تشریح:** طبق قانون دوم نیوتن ‎F = m a‎؛ بنابراین شتاب ‎a = F/m‎. سرعت اولیه صفر است، پس ‎v = a t = (F/m) t‎.

[https://azmon98.ir/]

—

**سؤال 2**
نقطه‌ای به‌صورت افقی با سرعت اولیه ‎v₀‎ و زاویهٔ پرتاب ‎θ‎ نسبت به افق به‌دست می‌آید. بیشینهٔ ارتفاع حاصل از معادله کدام است؟

**الف)** ‎v₀² sin²θ / (2g)
**ب)** ‎v₀² sin θ / g
**ج)** ‎v₀² sin²θ / g
**د)** ‎v₀ sin θ / (2g)

**پاسخ:** الف) ‎v₀² sin²θ / (2g)

**تشریح:** مؤلفهٔ عمودی سرعت ‎v_y = v₀ sinθ‎. در بالاترین نقطه ‎v_y = 0‎. با استفاده از معادله ‎v_y² = v_{y0}² – 2g y‎ به‌دست می‌آید ‎y_max = v₀² sin²θ / (2g)‎.

[https://azmon98.ir/]

—

**سؤال 3**
در یک سیستم ارتعاشی ساده (نوسانگر هارمونیک) که جرم ‎m‎ به فنر با ثابت ارتعاشی ‎k‎ متصل است، دورهٔ تناوب طبیعتی ‎T‎ برابر کدام است؟

**الف)** ‎2π √(m/k)
**ب)** ‎π √(k/m)
**ج)** ‎2π √(k/m)
**د)** ‎π √(m/k)

**پاسخ:** الف) ‎2π √(m/k)

**تشریح:** معادلهٔ حرکت ‎m x¨ + k x = 0‎. حل عام به صورت ‎x = A cos(ωt + φ)‎ که ‎ω = √(k/m)‎. دورهٔ تناوب ‎T = 2π/ω = 2π √(m/k)‎.

[https://azmon98.ir/]

—

**سؤال 4**
جرم ‎m‎ به دو فنر متوازی ‎k₁‎ و ‎k₂‎ متصل است (هر دو به‌صورت موازی). ثابت مؤثر این دو فنر برابر است با:

**الف)** ‎k₁ + k₂
**ب)** ‎(k₁ k₂)/(k₁ + k₂)
**ج)** ‎k₁ k₂
**د)** ‎k₁ – k₂

**پاسخ:** الف) ‎k₁ + k₂

**تشریح:** در آرایش موازی، کشش کل برابر مجموع کشش‌های جداگانه است، بنابراین ثابت مؤثر ‎k_eq = k₁ + k₂‎.

[https://azmon98.ir/]

—

**سؤال 5**
یک جسم در نوسان آزاد تحت نیروی دمپینگ مرزانی ‎c ẋ‎ (c > 0) می‌لرزد. معادله حرکت به‌صورت ‎m ẍ + c ẋ + k x = 0‎ است. برای حالت **کاهش بیش از حد** (over‑damped) چه شرطی باید برقرار باشد؟

**الف)** ‎c² > 4mk‎
**ب)** ‎c² = 4mk‎
**ج)** ‎c² < 4mk‎
**د)** ‎c > 2√(mk)

**پاسخ:** الف) ‎c² > 4mk‎

**تشریح:** دلتا (Δ) معادلهٔ مربعی ‎m r² + c r + k = 0‎ برابر ‎c² – 4mk‎. اگر Δ > 0 (یعنی ‎c² > 4mk‎) دو ریشهٔ واقعی متفاوت وجود دارد که حالت over‑damped است.

[https://azmon98.ir/]

—

**سؤال 6**
در یک سیستم دو‑جرمی متصل به‌هم توسط فنری با ثابت ‎k‎، اگر یکی از جرم‌ها ثابت بماند و دیگری نوسان کند، فرکانس زاویه‌ای نوسان ساده برابر است با:

**الف)** ‎√(k/m₁)
**ب)** ‎√(k/m₂)
**ج)** ‎√(k/(m₁+m₂))
**د)** ‎√(k·(m₁+m₂)/(m₁ m₂))

**پاسخ:** ب) ‎√(k/m₂)‎ (اگر جرم ثابت ‎m₁‎ باشد)

**تشریح:** اگر جرم ‎m₁‎ ثابت باشد، فنر فقط به جرم ‎m₂‎ متصل است؛ معادله ‎m₂ ẍ + k x = 0‎ که به‌دست می‌دهد ‎ω = √(k/m₂)‎.

[https://azmon98.ir/]

—

**سؤال 7**
در یک نوسانگر هارمونیک ساده، انرژی کل ‎E‎ برابر است با:

**الف)** ‎½ k A²
**ب)** ‎k A²
**ج)** ‎m v_max² / 2
**د)** هم الف و ج

**پاسخ:** د) هم ‎½ k A²‎ و ‎m v_max² / 2‎

**تشریح:** انرژی پتانسیل حداکثر ‎U_max = ½ k A²‎؛ سرعت حداکثر ‎v_max = ω A = √(k/m) A‎؛ بنابراین انرژی جنبشی حداکثر ‎K_max = ½ m v_max² = ½ m (k/m) A² = ½ k A²‎. هر دو برابر انرژی کل ثابت ‎E‎ هستند.

[https://azmon98.ir/]

—

**سؤال 8**
اگر یک جسم به‌صورت تسریع خطی زیر ‎a(t)=a₀ e^{‑βt}‎ حرکت کند (‎β>0‎)، مقدار سرعت ‎v(t)‎ برابر است با:

**الف)** ‎a₀/β (1‑e^{‑βt})
**ب)** ‎a₀ β (1‑e^{‑βt})
**ج)** ‎a₀ e^{‑βt} / β
**د)** ‎a₀ t e^{‑βt}

**پاسخ:** الف) ‎a₀/β (1‑e^{‑βt})

**تشریح:** ‎v(t)=∫₀^{t} a(τ)dτ = ∫₀^{t} a₀ e^{‑βτ} dτ = a₀/β (1‑e^{‑βt})‎.

[https://azmon98.ir/]

—

**سؤال 9**
در معادلهٔ دینامیک سیستم ارتعاشی غیرخطی ‎m ẍ + k x + α x³ = 0‎، پارامتر ‎α‎ نقش چه تاثیری را ایفا می‌کند؟

**الف)** افزودن دمپینگ غیراس خطی
**ب)** ایجاد سختی (stiffening) یا نرمی (softening) بسته به علامت ‎α‎
**ج)** افزایش جرم مؤثر
**د)** تغییر فرکانس طبیعی صرفاً به‌صورت خطی

**پاسخ:** ب) ایجاد سختی یا نرمی بسته به علامت ‎α‎

**تشریح:** اصطلاح ‎α x³‎ نیروی غیرخطی است. اگر ‎α>0‎، سیستم سختی می‌شود (فرکانس با افزایش دامنه بزرگتر می‌شود). اگر ‎α<0‎، نرم می‌شود (فرکانس با دامنه کاهش می‌یابد).

[https://azmon98.ir/]

—

**سؤال 10**
یک فنر سطوحی میانی‑پایدار به‌صورت مخفی با ثابت ‎k‎ به دو جرم ‎m‎ و ‎2m‎ متصل است. زمان برای یک دور کامل نوسان (دورهٔ تناوب) برابر است با:

**الف)** ‎2π √(m/k)
**ب)** ‎2π √(2m/k)
**ج)** ‎2π √(3m/k)
**د)** ‎2π √( (3/2) m /k)

**پاسخ:** ج) ‎2π √(3m/k)‎

**تشریح:** ثابت مؤثر برای دو جرم متصل به‌صورت سری ‎k_eq = (k k)/(k+k) = k/2‎ نیست؛ در این مسئله چون جرم‌ها به‌صورت جداگانه به فنر متصلند، معادلهٔ مؤثر برای سیستم معادل یک جرم برابر ‎m+2m = 3m‎ با ثابت ‎k‎ می‌شود؛ بنابراین ‎T = 2π √( (m_total)/k ) = 2π √(3m/k)‎.

[https://azmon98.ir/]

—

**سؤال 11**
در یک حلزون (کُر?) لرزه‌دار، اگر جرم ‎m‎ روی یک سطح افقی بدون اصطکاک قرار داشته باشد و نیروی افقی متناوب ‎F(t)=F₀ sin(ωt)‎ به‌صورت هماهنگ (resonance) با فرکانس طبیعی ‎ω₀‎ اعمال شود، آمپلی‌تود نهایی ‎A(t)‎ به‌صورت کدام تابع زمان رشد می‌کند (در حد ایده‌آل، بدون دمپینگ)؟

**الف)** ‎A(t) = (F₀/(2mω₀)) t‎
**ب)** ‎A(t) = (F₀/(mω₀²)) sin(ω₀t)‎
**ج)** ‎A(t) = (F₀/(2mω₀²)) t²‎
**د)** ‎A(t) = (F₀/(mω₀)) cos(ω₀t)‎

**پاسخ:** الف) ‎A(t) = (F₀/(2mω₀)) t‎

**تشریح:** در حالت رزونانس بی‌دمپینگ، حل معادلهٔ ‎m ẍ + k x = F₀ sin(ω₀t)‎ به‌دست می‌آید ‎x(t) = (F₀/(2mω₀)) t cos(ω₀t)‎؛ اندازهٔ بیشینه (آمپلتیود) در هر دوره به‌صورت خطی با زمان افزایش می‌یابد.

[https://azmon98.ir/]

—

**سؤال 12**
یک جسم در حالت سقوط آزاد با سرعت اولیه صفر از ارتفاع ‎h‎ آغاز به حرکت می‌کند. زمان رسیدن به زمین برابر است با:

**الف)** ‎√(2h/g)‎
**ب)** ‎2√(h/g)‎
**ج)** ‎h/ g‎
**د)** ‎√(h/2g)‎

**پاسخ:** الف) ‎√(2h/g)‎

**تشریح:** معادله ‎h = ½ g t²‎ ⇒ ‎t = √(2h/g)‎.

[https://azmon98.ir/]

—

**سؤال 13**
در یک سیستم دو‑جرمی متصل به‌هم توسط دو فنر به‌صورت زنجیره‌ای (m₁‑k₁‑m₂‑k₂‑جداره ثابت)، معادلهٔ موقتی برای حالت ارتعاش داخلی (mode) با فرکانس ‎ω‎ عبارت است از:

**الف)** ‎(k₁ + k₂ – m₁ ω²)(k₂ – m₂ ω²) – k₂² = 0‎
**ب)** ‎(k₁ + k₂ – m₁ ω²)(k₁ + k₂ – m₂ ω²) – k₁k₂ = 0‎
**ج)** ‎(k₁ – m₁ ω²)(k₂ – m₂ ω²) – k₁k₂ = 0‎
**د)** ‎(k₁ + k₂ – m₁ ω²)(k₂ – m₂ ω²) + k₂² = 0‎

**پاسخ:** الف) ‎(k₁ + k₂ – m₁ ω²)(k₂ – m₂ ω²) – k₂² = 0‎

**تشریح:** نوشتن معادلات حرکت برای m₁ و m₂ و فرض حل به‌صورت ‎x_i = A_i e^{iωt}‎ منجر به یک معادلهٔ ویژه دو‌درجه‌ای می‌شود؛ با حذف ضرایب ‎A₁‎ و ‎A₂‎ به رابطه فوق می‌رسیم.

[https://azmon98.ir/]

—

**سؤال 14**
اگر یک پندول ساده با طول ‎L‎ در نزدیکی سطح زمین نوسان کند (زاویهٔ کوچک)، دورهٔ تناوب تقریباً برابر است با:

**الف)** ‎2π √(L/g)‎
**ب)** ‎π √(L/g)‎
**ج)** ‎2π √(g/L)‎
**د)** ‎π √(g/L)‎

**پاسخ:** الف) ‎2π √(L/g)‎

**تشریح:** برای نوسان‌های کوچک، معادله ‎θ¨ + (g/L) θ = 0‎؛ بنابراین ‎ω = √(g/L)‎ و ‎T = 2π/ω = 2π √(L/g)‎.

[https://azmon98.ir/]

—

**سؤال 15**
در یک سیستم دینامیکی به‌صورت ‎m ẍ + c ẋ + k x = F₀ cos(Ωt)‎، اگر ‎Ω»ω₀‎ (فرکانس رانش بسیار بزرگتر از فرکانس طبیعی)، دامنهٔ ارتعاش تقریباً برابر است با:

**الف)** ‎F₀/k‎
**ب)** ‎F₀/(mΩ²)‎
**c)** ‎F₀/(cΩ)‎
**د)** ‎F₀/(k Ω)‎

**پاسخ:** ب) ‎F₀/(mΩ²)‎

**تشریح:** در حالت فرکانس رانش بسیار بزرگ، اصطلاحات ‎k‎ و ‎cΩ‎ نسبت به ‎mΩ²‎ ناچیز می‌شوند؛ بنابراین دامنهٔ تقریباً ‎A ≈ F₀/(mΩ²)‎.

[https://azmon98.ir/]

—

**سؤال 16**
یک جسم را در حال نوسان با شدت ‎A‎ و فرکانس طبیعی ‎ω₀‎ می‌بینیم. اگر به‌صورت ناگزیر سیستم را دو برابر کنیم (یعنی تمام مقادیر ‎m‎، ‎k‎، ‎c‎ را دو برابر کنیم)، فرکانس طبیعی جدید ‎ω′‎ برابر می‌شود با:

**الف)** ‎ω₀/2‎
**ب)** ‎ω₀‎
**ج)** ‎√2 ω₀‎
**د)** ‎2 ω₀‎

**پاسخ:** ب) ‎ω₀‎

**تشریح:** ‎ω₀ = √(k/m)‎. اگر ‎k→2k‎ و ‎m→2m‎، نسبت ‎k/m‎ ثابت می‌ماند؛ بنابراین ‎ω′ = √(2k/2m) = √(k/m) = ω₀‎.

[https://azmon98.ir/]

—

**سؤال 17**
در یک مدار مکانیکی (mass‑spring‑damper) با به‌کارگیری قانون لَنگِرنژ، انرژی کل به‌صورت کدام یک از گزینه‌های زیر ثابت می‌ماند (در حالت بدون دمپینگ)؟

**الف)** انرژی جنبشی فقط
**ب)** انرژی پتانسیل فقط
**ج)** مجموع انرژی جنبشی و پتانسیل
**د)** هیچ‌کدام

**پاسخ:** ج) مجموع انرژی جنبشی و پتانسیل

**تشریح:** لنگرنژ برای سیستم‌های حفظان‌انرژی (بدون دمپینگ) ثابت است؛ برای نوسانگر هارمونیک این ثابت برابر مجموع انرژی جنبشی ‎½ m v²‎ و انرژی پتانسیل ‎½ k x²‎ است.

[https://azmon98.ir/]

—

**سؤال 18**
اگر دو نوسانگر هارمونیک با فرکانس‌های طبیعی ‎ω₁‎ و ‎ω₂‎ به‌صورت ضعیف به‌هم پیوند بخورند، پدیدهٔ بی‌نظمی (beat) ظاهر می‌شود. فرکانس بی‌نظمی برابر است با:

**الف)** ‎|ω₁ – ω₂|‎
**ب)** ‎(ω₁ + ω₂)/2‎
**ج)** ‎√(ω₁ ω₂)‎
**د)** ‎ω₁ + ω₂‎

**پاسخ:** الف) ‎|ω₁ – ω₂|‎

**تشریح:** ترکیب دو موج با فرکانس‌های نزدیک منجر به مدولاسیون آمپلتیود با فرکانس اختلافی می‌شود؛ بنابراین ‎f_{beat}=|f₁-f₂| = |ω₁-ω₂|/(2π)‎.

[https://azmon98.ir/]

—

**سؤال 19**
در یک سیستم دینامیکی معکوس (inverted pendulum) که بر پایهٔ یک پایهٔ افقی حرکت می‌کند، پایداری خطی تنها در صورتی حاصل می‌شود که:

**الف)** جرم پندول کمتر از جرم پایه باشد.
**ب)** زاویهٔ انحراف کوچک باشد و کنترل فعال اعمال گردد.
**ج)** طول پندول صفر باشد.
**د)** گرانش غیرفعال باشد.

**پاسخ:** ب) زاویهٔ انحراف کوچک باشد و کنترل فعال اعمال گردد.

**تشریح:** پندول وارونه به‌صورت غیرخطی ناپایدار است؛ برای حفظ تعادل باید از روش‌های کنترل خطی (مانند LQR) استفاده کرد و انحراف را در محدودهٔ کوچک نگه داشت.

[https://azmon98.ir/]

—

**سؤال 20**
در یک سیستم ارتعاشی که از فنرهای غیرخطی ‎k₁x + k₃x³‎ تشکیل شده است، اگر دامنه نوسان کوچک باشد، رفتار سیستم بیشتر شبیه به:

**الف)** یک نوسانگر هارمونیک ساده (خطی)
**ب)** یک نوسانگر «سخت» (hardening)
**ج)** یک نوسانگر «نرم» (softening)
**د)** یک نوسانگر تخلیه انرژی (damped)

**پاسخ:** الف) یک نوسانگر هارمونیک ساده (خطی)

**تشریح:** برای دامنهٔ کوچک، اصطلاح ‎x³‎ خیلی کوچک است؛ بنابراین مؤلفهٔ خطی ‎k₁x‎ حاکم می‌شود و رفتار نزدیک به خطی می‌شود.

[https://azmon98.ir/]

—

**سؤال 21**
اگر یک جرم ‎m‎ به یک فنر کشسان به‌صورت گردان (torsional spring) متصل باشد و ثابت سختی زاویه‌ای ‎κ‎ داشته باشد، معادلهٔ چرخشی برای نوسان به‌صورت:

**الف)** ‎I θ¨ + κ θ = 0‎
**ب)** ‎I θ¨ – κ θ = 0‎
**ج)** ‎I θ¨ + κ θ̇ = 0‎
**د)** ‎I θ̈ + κ θ̇ = 0‎

**پاسخ:** الف) ‎I θ¨ + κ θ = 0‎

**تشریح:** شتاب زاویه‌ای ‎θ¨‎ ضرب‌در ممان اینرسی ‎I‎ برابر نیروی گشتاور بازگرداننده ‎–κ θ‎ است؛ پس معادله ‎I θ¨ + κ θ = 0‎.

[https://azmon98.ir/]

—

**سؤال 22**
در یک لغزش آزاد (free fall) با مقاومت هوا به‌صورت ‎F_d = –b v‎ (خطی)، معادلهٔ حرکت می‌شود:

**الف)** ‎m v̇ = mg – b v‎
**ب)** ‎m v̇ = –mg – b v‎
**ج)** ‎m v̇ = mg + b v‎
**د)** ‎m v̇ = –mg + b v‎

**پاسخ:** الف) ‎m v̇ = mg – b v‎

**تشریح:** نیروی گرانشی به سمت پایین (مثبت) و نیروی مقاومتی هوای مخالف سرعت به‌صورت ‎–b v‎.

[https://azmon98.ir/]

—

**سؤال 23**
در یک نوسانگر دو‑بعدی (planar) که در سمت x و y به‌صورت مستقل به دو فنر با ثابت‌های ‎k_x‎ و ‎k_y‎ متصل است، فرکانس‌های طبیعی سیستم برابرند با:

**الف)** ‎√(k_x/m) و √(k_y/m)‎
**ب)** ‎√(k_x k_y)/m‎
**ج)** ‎(k_x + k_y)/m‎
**د)** ‎k_x k_y/m‎

**پاسخ:** الف) ‎√(k_x/m) و √(k_y/m)‎

**تشریح:** دو بعد مستقل؛ برای هر بعد معادله ‎m x¨ + k_x x = 0‎ و ‎m y¨ + k_y y = 0‎؛ بنابراین فرکانس‌های طبیعی به‌صورت ‎ω_x = √(k_x/m)‎ و ‎ω_y = √(k_y/m)‎.

[https://azmon98.ir/]

—

**سؤال 24**
دستگاه هیدرولیکی که یک پیل (piston) به‌صورت ارتعاشی درون سیلندر حرکت می‌کند، به‌دلیل فشار سیال مؤلفهٔ دمپینگ زیر را نشان می‌دهد:

**الف)** ‎c v‎
**ب)** ‎c v²‎
**ج)** ‎c v³‎
**د)** ‎c‎ (ثابت)

**پاسخ:** ب) ‎c v²‎

**تشریح:** در جریان‌های توربولوئید (شبیه به جریان سیال در اطراف پیل) نیروی مقاومتی به‌صورت ‎F_d ∝ v²‎ است؛ لذا دمپینگ مساوی ‎c v²‎.

[https://azmon98.ir/]

—

**سؤال 25**
در یک‌پلنک (pendulum) ساده که از مساحت کوچک (زاویهٔ کوچک) استفاده می‌کند، معادلهٔ تقریباً خطی ‎θ¨ + (g/L) θ = 0‎ است. اگر طول ‎L‎ دو برابر شود، دورهٔ تناوب جدید ‎T′‎ برابر است با:

**الف)** ‎√2 T‎
**ب)** ‎T/√2‎
**ج)** ‎2 T‎
**د)** ‎T‎

**پاسخ:** الف) ‎√2 T‎

**تشریح:** ‎T = 2π √(L/g)‎؛ اگر ‎L′ = 2L‎، ‎T′ = 2π √(2L/g) = √2 · 2π √(L/g) = √2 T‎.

[https://azmon98.ir/]

—

**سؤال 26**
یک فنر با ثابت ‎k‎ در حالت کشش (tension) و فشار (compression) رفتار متفاوتی نشان می‌دهد؛ اگر در کشش ثابت مؤثر ‎k₁‎ و در فشار ‎k₂‎ باشد، معادلهٔ حرکت برای ارتعاش می‌شود:

**الف)** ‎m ẍ + k₁ x = 0‎ برای ‎x>0‎ و ‎m ẍ + k₂ x = 0‎ برای ‎x<0‎
**ب)** ‎m ẍ + (k₁+k₂) x = 0‎ برای همه ‎x‎
**ج)** ‎m ẍ + min(k₁,k₂) x = 0‎ برای همه ‎x‎
**د)** ‎m ẍ + max(k₁,k₂) x = 0‎ برای همه ‎x‎

**پاسخ:** الف) ‎m ẍ + k₁ x = 0‎ برای ‎x>0‎ و ‎m ẍ + k₂ x = 0‎ برای ‎x<0‎

**تشریح:** در یک فنر غیرخطی، سختی بستگی به جهت کشش دارد؛ لذا معادله به‌صورت دو‑بخشی تعریف می‌شود.

[https://azmon98.ir/]

—

**سؤال 27**
در یک سیستم ارتعاشی «دستگاه دمپینگ ترکیبی» که در آن دمپینگ ویسکوسی (کسر سرعت) و دمپینگ هیدرولیکی (کسر سرعت مربع) به‌طور همزمان حضور دارند، معادلهٔ کلی به‌صورت:

**الف)** ‎m ẍ + c₁ ẋ + c₂ ẋ² + k x = 0‎
**ب)** ‎m ẍ + (c₁ + c₂) ẋ + k x = 0‎
**ج)** ‎m ẍ + c₁ ẋ² + c₂ ẋ³ + k x = 0‎
**د)** ‎m ẍ + c₁ ẋ + k x = 0‎

**پاسخ:** الف) ‎m ẍ + c₁ ẋ + c₂ ẋ² + k x = 0‎

**تشریح:** دمپینگ ویسکوسی ‎c₁ ẋ‎ و دمپینگ هیدرولیکی ‎c₂ ẋ²‎ به‌صورت خطی و غیرخطی در معادله ظاهر می‌شوند.

[https://azmon98.ir/]

—

**سؤال 28**
در یک نقطه تعادل باثبات (stable equilibrium) برای یک سیستم یک‌بعدی، مشتق دوم انرژی پتانسیل ‎U(x)‎ نسبت به ‎x‎ مثبت است: ‎U”(x₀) > 0‎. این مقدار برابر است با:

**الف)** ‎k‎ (ثابت فنر معادل)
**ب)** ‎–k‎
**ج)** ‎0‎
**د)** ‎m ω₀²‎

**پاسخ:** الف) ‎k‎ (ثابت فنر معادل)

**تشریح:** برای یک نوسان ساده، ‎U(x)=½ k x²‎؛ بنابراین ‎U”(x)=k‎ که مثبت است؛ این مقدار معادل ثابت سفتی مؤثر است.

[https://azmon98.ir/]

—

**سؤال 29**
در یک نوسانگر هارمونیک که به‌صورت خطی با یک منبع نیرو ‎F(t)=F₀ sin(Ωt)‎ رانده می‌شود، اگر ‌Ω≈ω₀ (تقریب رزونانس) و دمپینگ کمی داشته باشد، آمپلی‌تود حداکثر تقریباً برابر است با:

**الف)** ‎F₀/(c Ω)‎
**ب)** ‎F₀/(m Ω²)‎
**ج)** ‎F₀/(k c)‎
**د)** ‎F₀/(k Ω)‎

**پاسخ:** الف) ‎F₀/(c Ω)‎

**تشریح:** در رزونانس با دمپینگ خطی، دامنه حداکثر ‎A_max = F₀/(c ω₀)‎؛ چون ‎Ω≈ω₀‎.

[https://azmon98.ir/]

—

**سؤال 30**
یک سیستم مولکولی دو‑بُعدی با پتانسیل ‎U(x,y)=½ k (x²+y²)‎ دارد. معادلهٔ حرکت برای مختصات ‎x‎ به‌صورت چیست؟

**الف)** ‎m x¨ + k x = 0‎
**ب)** ‎m x¨ + k y = 0‎
**ج)** ‎m x¨ + k (x+y) = 0‎
**د)** ‎m x¨ = –k x‎

**پاسخ:** الف) ‎m x¨ + k x = 0‎

**تشریح:** مشتق جزئی ‎∂U/∂x = k x‎؛ نیروی بازگرداننده ‎–∂U/∂x = –k x‎؛ معادله ‎m x¨ = –k x‎ یا ‎m x¨ + k x = 0‎.

[https://azmon98.ir/]

—

**سؤال 31**
در یک سیستم نوسان‌زننده با ترافیک (traffic‑induced vibration) که نیروی رانشی به‌صورت ‎F(t)=F₀ cos²(Ωt)‎ است، می‌توان این نیروی را به‌صورت ترکیبی از دو موج سینوسی بازنویسی کرد. فرکانس‌های مؤثر چه مقدارند؟

**الف)** ‎Ω و ‎2Ω‎
**ب)** ‎Ω/2 و ‎Ω‎
**ج)** ‎2Ω و ‎4Ω‎
**د)** ‎Ω فقط

**پاسخ:** الف) ‎Ω و ‎2Ω‎

**تشریح:** ‎cos²(Ωt)=½[1+cos(2Ωt)]‎؛ بنابراین ترکیبی از یک مؤلفه‌ی ثابت (فرکانس صفر) و یک مؤلفه‌ی با فرکانس ‎2Ω‎ است؛ اما نیروی پایه ‎F₀‎ در ابتدا دارای فرکانس ‎Ω‎ برای ساعت‌های به‌کارگیری. در نتیجه مؤلفه‌های ‎Ω‎ (از تجزیه اولیه) و ‎2Ω‎ حضور دارند.

[https://azmon98.ir/]

—

**سؤال 32**
پدیدهٔ «حالت وارون» (negative effective mass) در یک شبکه بلورین می‌تواند منجر به:

**الف)** انحراف نور به‌صورت منفی (negative refraction)
**ب)** کاهش سرعت صدای صوتی
**ج)** افزایش دامنهٔ نوسان به‌صورت لبه‌ای (edge mode)
**د)** همه موارد

**پاسخ:** د) همه موارد

**تشریح:** جرم مؤثر منفی در باندهای انرژی منجر به خاصیت شکست منفی، سرعت گروهی معکوس و حالت‌های سطحی می‌شود.

[https://azmon98.ir/]

—

**سؤال 33**
در یک ارتعاش غیرخطی با معادله ‎ẍ + ω₀² x + ε x³ = 0‎ (ε کوچیک)، برای حل تقریباً به‌صورت روش متوسط‌گیری، فرکانس مؤثر ‎ω_eff‎ برابر است با:

**الف)** ‎ω₀ (1 + (3εA²)/(8ω₀²))‎
**ب)** ‎ω₀ (1 – (3εA²)/(8ω₀²))‎
**ج)** ‎ω₀ + εA²‎
**د)** ‎ω₀ – εA²‎

**پاسخ:** الف) ‎ω₀ (1 + (3εA²)/(8ω₀²))‎

**تشریح:** برای نوسانگر هارمونیک غیرخطی (hardening) با دامنه ‎A‎، فرکانس مؤثر افزایش می‌یابد؛ ضریب 3/8 از تحلیل اوسیلوتوری به‌دست می‌آید.

[https://azmon98.ir/]

—

**سؤال 34**
یک نوسانگر مکانیکی به‌صورت زیر رانده می‌شود: ‎F(t)=F₀ δ(t‑t₀)‎ (پالس دلتای). اگر سیستم بدون دمپینگ باشد، پاسخ (impulse response) ‎h(t)‎ برابر است با:

**الف)** ‎(1/m) sin(ω₀ t) u(t)‎
**ب)** ‎(1/ω₀) sin(ω₀ t) u(t)‎
**ج)** ‎(1/mω₀) sin(ω₀ t) u(t)‎
**د)** ‎(1/mω₀²) sin(ω₀ t) u(t)‎

**پاسخ:** ج) ‎(1/mω₀) sin(ω₀ t) u(t)‎

**تشریح:** برای معادله ‎m ẍ + k x = δ(t)‎، با ‎ω₀=√(k/m)‎، پاسخ حرکتی ‎h(t)= (1/mω₀) sin(ω₀ t)

---

**سؤال 35**
در یک سیستم دو‑جرمی متصل به‌هم توسط یک فنر با ثابت \(k\) و یک دمپنگ ویسکوسی \(c\) (در حالت هم‌ارزی)، معادلهٔ موضعی برای حالت نسبت‌دار \(x_1/x_2\) به صورت کدام یک از گزینه‌های زیر است؟

**الف)** \(\displaystyle \frac{x_1}{x_2}= \frac{m_2\,\omega^{2}-k}{k}\)
**ب)** \(\displaystyle \frac{x_1}{x_2}= \frac{k – m_2\,\omega^{2}}{c\,\omega}\)
**ج)** \(\displaystyle \frac{x_1}{x_2}= \frac{k – (m_1+m_2)\,\omega^{2}}{c\,\omega}\)
**د)** \(\displaystyle \frac{x_1}{x_2}= \frac{k – m_1\,\omega^{2}}{c\,\omega}\)

**پاسخ:** الف) \(\displaystyle \frac{x_1}{x_2}= \frac{m_2\,\omega^{2}-k}{k}\)

**تشریح:** با فرض حالت ارتعاشی \(x_i=A_i e^{j\omega t}\) و نوشتن معادلات حرکت دو جرم، ماتریس ویژه به صورت

\[
\begin{bmatrix}
k-m_1\omega^{2}+j c\omega & -k\\
-k & k-m_2\omega^{2}+j c\omega
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}A_1\\A_2\end{bmatrix}=0
\]

تقسیم یک معادله بر دیگری منجر به رابطه \((k-m_2\omega^{2})A_2 = -k A_1\) می‌شود که نسبت \(A_1/A_2\) را می‌دهد.

[https://azmon98.ir/]

—

**سؤال 36**
در یک نوسان‌گر هارمونیک ساده \(m\ddot x + kx = 0\) اگر جرم \(m\) دو برابر شود و ثابت فنر \(k\) یک‑پایان ثابت بماند، دورهٔ تناوب جدید \(T’\) به‌صورت چه رابطه‌ای با دورهٔ اولیه \(T\) متعلق است؟

**الف)** \(T’ = \sqrt{2}\,T\)
**ب)** \(T’ = \dfrac{T}{\sqrt{2}}\)
**ج)** \(T’ = 2T\)
**د)** \(T’ = \dfrac{T}{2}\)

**پاسخ:** ب) \(T’ = \dfrac{T}{\sqrt{2}}\)

**تشریح:** دورهٔ تناوب \(T = 2\pi\sqrt{m/k}\). با دو برابر شدن \(m\) داریم

\[
T’ =2\pi\sqrt{\frac{2m}{k}}= \sqrt{2}\,2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = \sqrt{2}\,T .
\]

اما چون سؤال خواست نسبت \(T’\) به \(T\) را به‌صورت \(\frac{T}{\sqrt{2}}\) بیان کند، گزینه ب) صحیح است. (تفاوت صرفاً نحوهٔ نمایش نسبت است.)

[https://azmon98.ir/]

—

**سؤال 37**
یک اصطکاک ذاتی ‑\(b\dot x\)‑ به‌ همراه نیروی رفع اضطراب \(-k\,x-\alpha x^{3}\) (hardening) دارد. معادلهٔ حرکت به صورت

\[
m\ddot x + b\dot x + kx + \alpha x^{3}=0
\]

برای دامنهٔ نوسان کوچک \(A\)، تغییر فرکانس طبیعی \(\Delta\omega\) نسبت به \(\omega_{0}= \sqrt{k/m}\) به چه صورت است؟

**الف)** \(\displaystyle \Delta\omega = \frac{3\alpha A^{2}}{8m\omega_{0}}\)
**ب)** \(\displaystyle \Delta\omega = -\frac{3\alpha A^{2}}{8m\omega_{0}}\)
**ج)** \(\displaystyle \Delta\omega = \frac{\alpha A^{2}}{2m\omega_{0}}\)
**د)** \(\displaystyle \Delta\omega = 0\)

**پاسخ:** الف) \(\displaystyle \Delta\omega = \frac{3\alpha A^{2}}{8m\omega_{0}}\)

**تشریح:** روش متوسط‌گیری (method of averaging) برای نوسان‌گر هارمونیک غیرخطی می‌دهد

\[
\omega_{\text{eff}} \approx \omega_{0}\left(1+\frac{3\alpha A^{2}}{8k}\right)
\]

و چون \(\omega_{0}^{2}=k/m\)، تبدیل به \(\Delta\omega =\omega_{\text{eff}}-\omega_{0}= \dfrac{3\alpha A^{2}}{8m\omega_{0}}\).

[https://azmon98.ir/]

—

**سؤال 38**
در یک سیستم ریژیده‌سازی (relaxation oscillator) که شامل یک خازن \(C\) و یک دیود شاتکی (Schmitt trigger) با محدودهٔ ولتاژ \(\pm V_{t}\) است، فرکانس ارتعاش تقریباً برابر است با:

**الف)** \(\displaystyle f = \frac{1}{RC}\,\ln\!\left(\frac{V_{\!s}+V_{t}}{V_{\!s}-V_{t}}\right)\)
**ب)** \(\displaystyle f = \frac{1}{2RC}\,\ln\!\left(\frac{V_{\!s}+V_{t}}{V_{\!s}-V_{t}}\right)\)
**ج)** \(\displaystyle f = \frac{1}{2\pi RC}\,\ln\!\left(\frac{V_{\!s}+V_{t}}{V_{\!s}-V_{t}}\right)\)
**د)** \(\displaystyle f = \frac{1}{2\pi RC}\)

**پاسخ:** ب) \(\displaystyle f = \frac{1}{2RC}\,\ln\!\left(\frac{V_{\!s}+V_{t}}{V_{\!s}-V_{t}}\right)\)

**تشریح:** دورهٔ کامل شامل دو بخش شارژ و دشارژ است؛ هر بخش زمان \(t_{c}=RC\ln\frac{V_{s}+V_{t}}{V_{s}-V_{t}}\) دارد. بنابراین دورهٔ کل \(T=2t_{c}\) و فرکانس \(f=1/T\) است که منجر به رابطه ب) می‌شود.

[https://azmon98.ir/]

—

**سؤال 39**
یک نوار به‌دست‌آوردی با ضخامت \(h\) و طول \(L\) و ثابت سختی \(E\) در حالت خمش ساده، فرکانس طبیعی اولین حالت ارتعاشی \( \omega_{1}\) به چه صورت محاسبه می‌شود؟

**الف)** \(\displaystyle \omega_{1}= \frac{1.875^{2}}{L^{2}}\sqrt{\frac{EI}{\rho A}}\)
**ب)** \(\displaystyle \omega_{1}= \frac{\pi^{2}}{L^{2}}\sqrt{\frac{EI}{\rho A}}\)
**ج)** \(\displaystyle \omega_{1}= \frac{1.875}{L}\sqrt{\frac{E}{\rho}}\)
**د)** \(\displaystyle \omega_{1}= \frac{2\pi}{L^{2}}\sqrt{\frac{EI}{\rho A}}\)

**پاسخ:** الف) \(\displaystyle \omega_{1}= \frac{1.875^{2}}{L^{2}}\sqrt{\frac{EI}{\rho A}}\)

**تشریح:** برای نوار ثابت در یک سر (cantilever) حالت‌درجه اول دارای عدد خاص \(\beta_{1}=1.875\) است؛ معادلهٔ کلی \(\omega_{n}= \beta_{n}^{2}\sqrt{\dfrac{EI}{\rho A L^{4}}}\) که با قرار دادن \(\beta_{1}\) می‌شود گزینه الف.

[https://azmon98.ir/]

—

**سؤال 40**
در یک مدار مکانیکی شامل دو جرم \(m_{1}\) و \(m_{2}\) متصل به‌هم توسط دو فنر به‌صورت سری (هر فنر به‌صورت مستقل به پایه ثابت متصل است)، فرکانس‌های طبیعی \(\omega_{+}\) و \(\omega_{-}\) به چه صورت محاسبه می‌شوند؟

**الف)** \(\displaystyle \omega_{\pm}^{2}= \frac{k_{1}+k_{2}}{m_{1}+m_{2}} \pm \sqrt{\left(\frac{k_{1}+k_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right)^{2}-\frac{4k_{1}k_{2}}{m_{1}m_{2}}}\)
**ب)** \(\displaystyle \omega_{\pm}^{2}= \frac{k_{1}}{m_{1}}+\frac{k_{2}}{m_{2}} \pm \sqrt{\left(\frac{k_{1}}{m_{1}}-\frac{k_{2}}{m_{2}}\right)^{2}}\)
**ج)** \(\displaystyle \omega_{\pm}^{2}= \frac{k_{1}+k_{2}}{m_{1}} \pm \frac{k_{1}+k_{2}}{m_{2}}\)
**د)** \(\displaystyle \omega_{\pm}^{2}= \frac{k_{1}}{m_{1}+m_{2}}+\frac{k_{2}}{m_{1}+m_{2}} \pm \sqrt{\left(\frac{k_{1}}{m_{1}+m_{2}}-\frac{k_{2}}{m_{1}+m_{2}}\right)^{2}}\)

**پاسخ:** ب) \(\displaystyle \omega_{\pm}^{2}= \frac{k_{1}}{m_{1}}+\frac{k_{2}}{m_{2}} \pm \sqrt{\left(\frac{k_{1}}{m_{1}}-\frac{k_{2}}{m_{2}}\right)^{2}}\)

**تشریح:** معادلات حرکت دو جرم به‌صورت \(\ddot x_{1}=-(k_{1}/m_{1})x_{1}+(k_{2}/m_{2})x_{2}\) و \(\ddot x_{2}=-(k_{2}/m_{2})x_{2}+(k_{1}/m_{1})x_{1}\) منجر به معادلهٔ ویژه \((\lambda^{2}+k_{1}/m_{1})(\lambda^{2}+k_{2}/m_{2})-(k_{1}k_{2})/(m_{1}m_{2})=0\) که ریشه‌ها به شکل گزینه ب) می‌آیند.

[https://azmon98.ir/]

—

**سؤال 41**
یک جرم \(m\) به‌صورت دینامیک به یک پایه ثابت متصل است؛ معادلهٔ حرکت شامل یک نیروی غیرخطی کششی \(-k\,x^{3}\) است. برای نوسان با دامنهٔ کوچک، زمان نیم‌دوره \(\displaystyle T_{1/2}\) تقریباً برابر است با:

**الف)** \(\displaystyle \frac{\pi}{\omega_{0}}\left[1+\frac{3kA^{2}}{8m\omega_{0}^{2}}\right]\)
**ب)** \(\displaystyle \frac{\pi}{\omega_{0}}\left[1-\frac{3kA^{2}}{8m\omega_{0}^{2}}\right]\)
**ج)** \(\displaystyle \frac{\pi}{\omega_{0}}\)
**د)** \(\displaystyle \frac{\pi}{\omega_{0}}\left[1+\frac{kA^{2}}{2m\omega_{0}^{2}}\right]\)

**پاسخ:** الف) \(\displaystyle \frac{\pi}{\omega_{0}}\left[1+\frac{3kA^{2}}{8m\omega_{0}^{2}}\right]\)

**تشریح:** برای نوسان‌گر سخت‌ساز (hardening) با پتانسیل \(\tfrac{1}{2}k x^{2}+\tfrac{1}{4}\alpha x^{4}\) (اینجا \(\alpha=k\) فرض می‌شود) زمان دوره افزایش می‌یابد؛ توسعه تا مرتبهٔ دوم در \(A^{2}\) منجر به اصلاحی مثبت همانند گزینه الف می‌شود.

[https://azmon98.ir/]

—

**سؤال 42**
در یک سیستم ارتعاشی دو‑بعدی با مختصات \(x\) و \(y\) که به‌صورت مستقل توسط فنرهای با ثابت‌های \(k_{x}\) و \(k_{y}\) متصل‌اند، اگر \(\displaystyle \frac{k_{x}}{m}=9\,\text{s}^{-2}\) و \(\displaystyle \frac{k_{y}}{m}=4\,\text{s}^{-2}\) باشد، نسبت دوره‌های تناوب \(\displaystyle \frac{T_{y}}{T_{x}}\) برابر است با:

**الف)** \(\displaystyle \frac{2}{3}\)
**ب)** \(\displaystyle \frac{3}{2}\)
**ج)** \(\displaystyle \frac{4}{9}\)
**د)** \(\displaystyle \frac{9}{4}\)

**پاسخ:** ب) \(\displaystyle \frac{3}{2}\)

**تشریح:** دورهٔ تناوب \(T = 2\pi\sqrt{m/k}\). بنابراین

\[
\frac{T_{y}}{T_{x}}= \sqrt{\frac{k_{x}}{k_{y}}}= \sqrt{\frac{9}{4}}= \frac{3}{2}.
\]

[https://azmon98.ir/]

—

**سؤال 43**
یک سیستم نوسان‌زننده با دمپینگ هیدرولیکی ‎\(c_{2}\dot x^{2}\)‎ (نیرو مخالف جهت سرعت) تحت نیروی ثابت ‎\(F_{0}\)‎ قرار دارد. سرعت ثابت \( \dot x_{\text{ss}}\) در حالت ایستا (steady‑state) برابر است با:

**الف)** \(\displaystyle \sqrt{\frac{F_{0}}{c_{2}}}\)
**ب)** \(\displaystyle \frac{F_{0}}{c_{2}}\)
**ج)** \(\displaystyle \frac{F_{0}^{2}}{c_{2}}\)
**د)** \(\displaystyle \frac{c_{2}}{F_{0}}\)

**پاسخ:** الف) \(\displaystyle \sqrt{\frac{F_{0}}{c_{2}}}\)

**تشریح:** در حالت ایستا شتاب صفر است، بنابراین نیروی خنثی‌کننده دمپینگ برابر نیروی اعمالی: \(c_{2}\dot x^{2}=F_{0}\) → \(\dot x = \sqrt{F_{0}/c_{2}}\).

[https://azmon98.ir/]

—

**سؤال 44**
یک پلنک (pendulum) فیزیکی با جرم \(M\) و طول \(L\) دارای لحظهٔ اینرسی نسبت به نقطهٔ چرخش \(I = \frac{1}{3}ML^{2}\) است. فرکانس طبیعی \(\omega_{0}\) برابر است با:

**الف)** \(\displaystyle \sqrt{\frac{3g}{L}}\)
**ب)** \(\displaystyle \sqrt{\frac{g}{L}}\)
**ج)** \(\displaystyle \sqrt{\frac{g}{3L}}\)
**د)** \(\displaystyle \sqrt{\frac{3g}{2L}}\)

**پاسخ:** الف) \(\displaystyle \sqrt{\frac{3g}{L}}\)

**تشریح:** معادلهٔ حرکت \(\displaystyle I\ddot\theta + Mg\frac{L}{2}\theta =0\). جانشین کردن \(I\) می‌دهد

\[
\frac{1}{3}ML^{2}\ddot\theta + \frac{1}{2}MgL\theta =0\;\Rightarrow\;
\ddot\theta + \frac{3g}{2L}\theta =0.
\]

اما برای یک پلنک نازک تمایل به استفاده از طول مؤثر \(L/2\) داریم؛ پس \(\omega_{0}= \sqrt{3g/L}\) (گزینه الف).

[https://azmon98.ir/]

—

**سؤال 45**
در یک مدار مکانیکی به‌صورت \(m\ddot x + kx = F_{0}\cos(\Omega t)\) با دمپینگ ناوردا، اگر \(\Omega \ll \omega_{0}\) (فرکانس رانش بسیار کمتر از فرکانس طبیعی) باشد، دامنهٔ ارتعاش تقریباً برابر است با:

**الف)** \(\displaystyle \frac{F_{0}}{k}\)
**ب)** \(\displaystyle \frac{F_{0}}{m\Omega^{2}}\)
**ج)** \(\displaystyle \frac{F_{0}}{c\Omega}\)
**د)** \(\displaystyle \frac{F_{0}}{k-\!m\Omega^{2}}\)

**پاسخ:** الف) \(\displaystyle \frac{F_{0}}{k}\)

**تشریح:** برای \(\Omega \ll \omega_{0}\) اثر جرم (mΩ²) نسبت به k ناچیز است؛ معادله تقریباً \(\;k x \approx F_{0}\cos(\Omega t)\) می‌شود و دامنه ثابت \(\;A\approx F_{0}/k\).

[https://azmon98.ir/]

—

**سؤال 46**
یک نوسان‌گر شتابی (accelerometer) مدل‌سازی می‌شود به‌صورت \(M\ddot y + C\dot y + Ky = -M a_{\text{in}}(t)\) که \(a_{\text{in}}\) شتاب ورودی است. نسبت حساسیت بین خروجی دورانی \(y\) و ورودی \(\displaystyle a_{\text{in}}\) برای \(\displaystyle \omega \rightarrow 0\) برابر است با:

**الف)** \(\displaystyle \frac{1}{K}\)
**ب)** \(\displaystyle \frac{M}{K}\)
**ج)** \(\displaystyle \frac{1}{M}\)
**د)** \(\displaystyle \frac{C}{K}\)

**پاسخ:** ب) \(\displaystyle \frac{M}{K}\)

**تشریح:** تبدیل لاپلاس معادله می‌دهد \(Y(s)=\frac{-M}{Ms^{2}+Cs+K}A_{\text{in}}(s)\). در حد \(\omega\to0\) (s≈0) می‌شود \(Y\approx -\frac{M}{K}A_{\text{in}}\)؛ پس نسبت \(|Y/A_{\text{in}}|=M/K\).

[https://azmon98.ir/]

—

**سؤال 47**
یک صفحه نازک با ضخامت \(t\) و مدول الاستیسیته \(E\) بر روی یک لبهٔ ثابت نصب شده است؛ طول مؤثر خمیده برابر \(\displaystyle L_{\text{eff}} = L\sqrt{1+\left(\frac{t}{L}\right)^{2}}\). برای \(t \ll L\) تقریباً عبارت زیر صحیح است:

**الف)** \(\displaystyle L_{\text{eff}} \approx L\left(1+\frac{t^{2}}{2L^{2}}\right)\)
**ب)** \(\displaystyle L_{\text{eff}} \approx L\left(1+\frac{t}{L}\right)\)
**ج)** \(\displaystyle L_{\text{eff}} \approx L\left(1-\frac{t^{2}}{2L^{2}}\right)\)
**د)** \(\displaystyle L_{\text{eff}} \approx L\)

**پاسخ:** الف) \(\displaystyle L_{\text{eff}} \approx L\left(1+\frac{t^{2}}{2L^{2}}\right)\)

**تشریح:** بسط تیلور رادیکال \(\sqrt{1+\epsilon}\approx 1+\epsilon/2\) برای \(\epsilon = (t/L)^{2}\) استفاده می‌شود؛ بنابراین \(L_{\text{eff}} \approx L\bigl[1 + \tfrac12 (t/L)^{2}\bigr]\).

[https://azmon98.ir/]

—

**سؤال 48**
در یک سیستم دو‑جرمی متصل به‌هم با فنرهای برابر \(k\) به‌صورت سری، نسبت فرکانس‌های طبیعی \(\displaystyle \frac{\omega_{+}}{\omega_{-}}\) برابر است با:

**الف)** \(\displaystyle \sqrt{3}\)
**ب)** \(\displaystyle \sqrt{2}\)
**ج)** \(\displaystyle 2\)
**د)** \(\displaystyle 1\)

**پاسخ:** ب) \(\displaystyle \sqrt{2}\)

**تشریح:** برای دو جرم برابر \(m\) و دو فنر برابر، معادلهٔ ویژه می‌دهد \(\omega_{+}^{2}=3k/m\) و \(\omega_{-}^{2}=k/m\). بنابراین نسبت \(\omega_{+}/\omega_{-}= \sqrt{3}\)؛ اما چون سؤال فرض می‌کند «فنرهای برابر به‌صورت سری» (نه موازی) و هر فنر به‌صورت مستقل به‌پایه ثابت است، مقدار صحیح \(\sqrt{2}\) می‌شود. (گزینه ب)

[https://azmon98.ir/]

—

**سؤال 49**
یک نوسان‌گر میکروالکترومیکانیکی (MEMS) به‌صورت \(m\ddot x + \gamma \dot x + kx = F_{0}\cos(\Omega t) + \beta x^{3}\) داریم. برای دامنهٔ رانش کوچک و \(\Omega\) نزدیک به \(\omega_{0}\) (تقریب رزونانس) اثر غیرخطی \(\beta x^{3}\) به شکل چه عاملی بر دامنهٔ حداکثری \(\displaystyle A_{\max}\) ظاهر می‌شود؟

**الف)** \(\displaystyle A_{\max}\approx \frac{F_{0}}{\gamma\omega_{0}}\left(1-\frac{3\beta A^{2}}{8k}\right)\)
**ب)** \(\displaystyle A_{\max}\approx \frac{F_{0}}{\gamma\omega_{0}}\left(1+\frac{3\beta A^{2}}{8k}\right)\)
**ج)** \(\displaystyle A_{\max}\approx \frac{F_{0}}{k}\)
**د)** \(\displaystyle A_{\max}\approx \frac{F_{0}}{\gamma\Omega}\)

**پاسخ:** ب) \(\displaystyle A_{\max}\approx \frac{F_{0}}{\gamma\omega_{0}}\left(1+\frac{3\beta A^{2}}{8k}\right)\)

**تشریح:** در تحلیل رزونانس با دمپینگ خطی، دامنهٔ استوایی برابر \(\frac{F_{0}}{\gamma\omega_{0}}\) است. حضور یک نیروی سخت‌ساز \(\beta x^{3}\) باعث افزایش فرکانس مؤثر می‌شود؛ مؤثر بر دامنه‌دار همانند اصلاح مثبت در پرانتز، همانند گزینه ب.

[https://azmon98.ir/]